Minha explicação para o “Monty Hall Problem*”

Esse problema foi chamado assim por causa do apresentador de um programa de auditório chamado “Monty Hall”, tipo um Sílvio Santos americano. Esse apresentador, na década de 70, propunha a um participante do auditório que escolhesse uma dentre 3 portas. Caso abrisse a porta “certa”, encontraria um carrão, mas se abrisse uma das duas portas “erradas”, encontraria um bode.
O candidato escolhia uma porta. O apresentador, então, abria uma das outras portas e encontrava um dos bodes. Enfim, o apresentador perguntava ao candidato se ele mantinha sua 1ª escolha ou desejava trocar pela outra porta.
A questão é: trocar ou manter a escolha? Faz alguma diferença?
Faz. Segundo os “experts”, ao mudar sua opção, o candidato dobra suas chances de ganhar, não importando qual tenha sido a sua 1ª escolha!!! Confesso que eu fiquei horas tentando entender o porquê. Pois, tal qual a maioria das pessoas, eu acreditava que, restando 2 portas, as chances do candidato ganhar ou perder eram 50:50, mudando ou não de porta. Enfim, depois de muito muito tempo pensando e procurando soluções na net (meu namorado está viajando, a trabalho), eu me convenci de que a chance de ganhar mudando a escolha inicial é maior do que mantendo a escolha. Então, resolvi publicar minha resposta, um mix do que vi e do que entendi.
Lá vai:
No momento do programa, existe uma configuração atrás das portas, uma contém um carro e em cada uma das outras, há um bode. Ao escolher uma porta, a chance do candidato ganhar o carro é 1/3 ou aproximadamente 33%, ou seja, ele sempre tem mais chance de errar do que de acertar! A chance do carro estar em uma das outras duas portas é de 2/3 ou cerca de 66%.
Quando o apresentador abre uma das portas remanescentes, a chance do candidato não muda NADA, pois o apresentador sabe onde está o carro e sempre há uma porta com um bode para ele abrir!! Ou seja, a chance do candidato não cresceu só porque uma porta com um bode foi aberta, ele ainda tem a mesma pequena chance de 33% de tirar o carro na 1ª escolha. Porém, na porta aberta pelo apresentador a chance de tirar o carro caiu a 0%, portanto, como a chance de encontrar o carro abrindo as 3 portas deve ser igual a 100%, há 66% de chance do carro estar na porta que ele não escolheu. Assim, não importa qual tenha sido a sua escolha inicial, é sempre mais provável que o candidato tenha escolhido a porta errada. Então, ao trocar sua escolha, ele aumenta suas chances de ganhar.
Para tornar o raciocínio mais claro, imaginemos que, em vez de 3 portas, tenhamos 1000 e o candidato tenha escolhido a porta número 5. Sua chance de acertar é de 1/1000. Mas, se o apresentador abrir 998 portas não premiadas (o apresentador sabe onde o carro está) e ficarem restando só duas portas, a número 5 e uma outra, em qual é mais provável que o carro esteja?? É a mesma coisa...
É estarrecedor que erremos assim nos nossos julgamentos de probabilidade. Mas, igualmente desconcertantemente surpreendente (sic), é verificar que muitos médicos, segundo pesquisa feita nos EUA e na Alemanha**, também se enganam nas suas inferências estatísticas, ao superestimam enormemente a probabilidade de um diagnóstico, baseados em exames. Assim, há considerável probabilidade de alguém não ter uma doença, dado que seu exame para ela tenha sido positivo. Mas esta é minha próxima publicação!

OBS: Para quem ainda duvida da questão do Monty Hall: Pode testar por si mesmo no “simulador” : http://www.math.ucsd.edu/~crypto/Monty/monty.html

E, para quem não se convenceu com minha explicação e quer duas alternativas, seguem mais dois vídeos: explicação 1 e 2.

Mas, antes de mais nada, um vídeo bem engraçadinho...



*Essa questão causou bastante polêmica nos EUA, no ano de 1991, quando muitos cientistas e matemáticos enganaram-se também no seu julgamento para avaliar corretamente o problema. Para saber da controvérsia: http://math.ucsd.edu/~crypto/Monty/montybg.html

** No livro “The drunkard’s walk, how randomness rules our lives”.